Definición de limite
En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.
Continuidad de funciones
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real. una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).
Propiedades de los límites
Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denomina álgebra de los límites.
Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante
Unicidad del límite: Cuando el límite existe, el límite es único.
Propiedad de la suma: El límite de la suma es la suma de los límites.
Propiedad de la resta: El límite de la resta es la resta de los límites.
Propiedad del producto: El límite del producto es el producto de los límites. Propiedad de la función constante: El límite de una función constante es esta misma constante. Propiedad del cociente: El límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.
Propiedad de la función potencial: El límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente.
Propiedad de la función exponencial: El límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente:
Propiedad de la función potencial exponencial: el límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones:
Propiedad de la raíz: El límite de una raíz, es la raíz del límite:
Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.
Indeterminaciones
Una indeterminación o indeterminada es una operación cuyo resultado no está definido. Es habitual obtener este tipo de expresiones al intentar resolver límites, ya sean en un punto o en el infinito. La obtención de una indeterminación no significa que el límite no exista, sino que habrá que buscar otro camino para obtener su resultado.
Continuidad en un punto y un intervalo
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel, continuidad de una función en un punto Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Continuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].
Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).
Intervalo abierto (a,b). Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa con dos paréntesis (a,b). La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
Intervalo cerrado [a,b]. Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes.
Derivada
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación.
Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x. En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:
En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero.
Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido.
Propiedades de la derivada
La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas. Es decir, la derivada de f(x)+g(x) es igual a f′(x)+g′(x)
La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. Es decir:(k⋅f(x))′=k⋅f′(x)Estas dos propiedades son muy útiles para determinar, por ejemplo, la derivada de un polinomio, ya que un polinomio no es otra cosa que una suma de monomios de la forma axn. Por ello, para hallar la derivada de cualquier polinomio es suficiente conocer las derivadas xn.
La derivada de un producto de funciones se calcula de la siguiente manera: si h(x)=f(x)⋅g(x), su derivada es igual a h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
La derivada de un cociente de funciones se calcula de la siguiente manera: si h(x)=f(x)g(x), su derivada es igual a
h′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g2(x)
La derivada de una composición de funciones se calcula con la denominada regla de la cadena: si h(x)=(g∘f)(x)), entonces su derivada es igual a
h′(x)=g′(f(x))⋅f′(x)
Aplicaciones de la derivada
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
En primer lugar, ofrece la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto
Sucesiones y series Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) en un cierto orden.
Una serie puede ser cualquier secuencia de objetos que hayamos ordenado siguiendo algún criterio. Este criterio para ordenar los objetos puede ser el que nosotros consideremos, o puede ser un criterio fijo. Vamos a ver ejemplos con dos tipos de series: de orden creciente o decreciente y de secuencia establecida por un patrón.
Serie
En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma, aplicada a los infinitos términos de una sucesión lo que suele escribirse con el símbolo de sumatorio:
Carácter de las series
Sumas parciales
Para cualquier sucesión { a n } de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:
La sucesión de sumas parciales { S N } asociada a la sucesión { a n } está definida para cada número natural N como la suma de los N primeros términos de la sucesión { a n } , desde a1 hasta { a n } , ambos inclusive:
Convergencia
A partir de la sucesión de números reales (an), consideraremos una nueva sucesión (sn) que definimos como la suma de sus términos de la siguiente manera: s1=a1, s2=a1+a2, es decir: Esta sucesión se denomina sucesión de sumas parciales de la sucesión (an), y cuando n es infinito, ∑an con 1 ≤n≤∞ recibe el nombre de serie asociada la sucesión (an). -Se dice que una serie es convergente cuando el límite de la sucesión da un número real, lim sn=s cuando n tiende a infinito. En este caso diremos que la serie anterior converge a s. -En caso contrario, cuando el valor del límite es infinito, la serie será divergente.
Se explica en el concepto de convergencia absoluta y convergencia condicional de una serie infinita Una serie converge absolutamente si la serie que se forma al tomar el valor absoluto del término general también converge (Esta serie nueva es la suma de los valores absolutos de los términos de la serie original) Una serie converge condicionalmente si la serie converge como tal pero la serie que se forma al tomar el valor absoluto del término general diverge
La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente.
Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la función f evaluada en el punto a, entre el factorial de n(n!),y todo ello, multiplicado por x-a elevado a la potencia n.
En términos formales o matemáticos, la serie de Taylor tiene la siguiente forma:
Para entender mejor la serie de Taylor, debemos tener en cuenta que a es un punto de una recta tangente a la función f. Dicha recta puede, a su vez, expresarse como una función lineal que tiene como pendiente la misma pendiente de la función f en el punto a.Serie del Maclaurin
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
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